Mathematics 1A Assignment 4

300672
MATHEMATICS 1A
ASSIGNMENT – 4
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Question 1
(a) y=cosh2( x ¿¿ 5) sinhx ¿
Let
f ( x )=cosh2( x ¿¿ 5)¿
g ( x )=sinhx
Apply product rule
( f . g ) ' =f ' . g+ f . g'
dy
dx = d
dx {cosh2 ( x ¿¿ 5)}sinh ( x)+ d
dx {sinh (x )}cosh2( x¿¿ 5)... ...(a)¿ ¿
= I + II
Solve I
I = d
dx {cosh2 ( x ¿¿ 5)}¿
df ( u )
dx = df
du . du
dx
Let
cosh ( x ¿¿ 5)=u ¿
¿ d
du ( u2 ) . d
dx {cosh2 (x ¿¿ 5)}¿
¿ 2 u .sinh ( x¿ ¿5).5 x4 ¿
Substitute u=cosh ( x¿ ¿5)¿
1

¿ 2 cosh (x¿ ¿5). sinh( x ¿¿ 5). 5 x4 ¿¿
Simplify
I =10 x4 cosh ( x¿ ¿5) sinh(x ¿¿ 5)¿ ¿
Now,
II= d
dx {sinh (x )}
II=cosh ( x )
Now, substitute I and II in equation (a)
dy
dx =10 x4 cosh ( x ¿¿ 5)sinh( x ¿¿ 5)sinh ( x ) +cosh ( x ) cosh2 ( x¿ ¿5)¿ ¿ ¿
(b) y= sinh( x)
cos ( x )
Let
f =sinh ( x )
g=cos( x )
Applying the Quotient Rule
( f
g )'
= f ' . g−g' . f
g2
¿ d
dx ¿ ¿
¿ ¿ ¿
2

¿ cosh ( x ) .cos ( x ) +sin (x) sinh (x )
cos2 (x)
Question 2
d
dx ( tanh−1 x ) = 1
1−x2
Let
y=tanh−1 x
Or
x=tanh y
Differentiate both side w.r.t. x
d
dx tanh y = d
dx ( x )
sech2 y dy
dx =1
dy
dx = 1
sech2 y ... ... ... ... ... ( 1 )
sech2 y=1−tanh2 y
dy
dx =
( 1
1−tanh2 y )
x=tanh y
3