Himpunan dan Sub himpunan - Logika Informatika

Pelajari tentang himpunan dan sub himpunan dalam logika informatika. Pelajari cara penyajian, simbol-simbol baku, keanggotaan, kardinalitas, jenis-jenis himpunan, sub himpunan, dan operasi dasar pada himpunan.

Pendahuluan
(Himpunan dan Sub himpunan)
Logika Informatika
Viny Christanti M., M.Kom

Review

Himpunan
•Himpunan (set) adalah kumpulan objek-
objek yang berbeda.
•Objek di dalam himpunan disebut elemen,
unsur, atau anggota.

Cara Penyajian
• Enumerasi
• Contoh 1.
• Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
• Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
• C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
• R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
• C = {a, {a}, {{a}} }
• K = { {} }
• Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
• Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Cara Penyajian
• Simbol-simbol Baku
• P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
• N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
• Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
• Q = himpunan bilangan rasional
• R = himpunan bilangan riil
• C = himpunan bilangan kompleks
• Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
• Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian
dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

Cara Penyajian
• Notasi Pembentuk Himpunan
• Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }
• Contoh:
• A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
• A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
• A = { x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
• M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

Cara Penyajian
• DIAGRAM VENN-EULER
• Diagram Venn-Euler, biasa disebut diagram Venn adalah diagram untuk
menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan. Sebuah himpunan
dinyatakan dengan suatu daerah bidang.
• DIAGRAM GARIS
• Cara lain untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan
adalah dengan menggunakan apa yang disebut diagram garis.

Diagram
Next

Contoh diagram
• DIAGRAM VENN-EULER
• Andaikan A  B dan, katakan A B. Maka A dan B dapat dinyatakan dengan
diagram berikut :

Contohdiagram…
• DIAGRAM GARIS
• Jika A  B dan B  C, maka dapat digambarkan dengan diagram berikut :

Keanggotaan
• Contoh 1:
• x  A : x merupakan anggota himpunan A;
• x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Keanggotaan…
• Contoh 2.
• Misalkan:
• A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
• K = {{}}
• maka
• 3  A
• 5  B
• {a, b, c}  R
• c  R
• {}  K
• {}  R

Kardinalitas
• Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
• Notasi: n(A) atau  A 
• Contoh
• B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
• atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka  B = 8
• T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka  T = 5
• A = {a, {a}, {{a}} }, maka  A = 3

Himpunan Kosong
• Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
• Notasi :  atau {}
• Contoh
• E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
• P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
• A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
• {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu
himpunan kosong.

Jenis-jenis Himpunan
• Himpunan Kosong: himpuan tidak mengandung elemen/anggota
• Contoh : H={x  x * 3 = 9, x bilangan bulat genap}
• nol tidak sama dengan kosong { } { 0 },
• karena himpunan kosong adalah bagian dari setiap himp. (himp. yg tidak
punya anggota)
• Himpunan Semesta : atau semesta dari uraian adalah himpunan dari
himpunan tertentu.
• Contoh : H={semua orang di Indonesia}

Jenis-jenis Himpunan…
• Himpunan Kuasa (Power Set): Keluarga dari semua sub himpunan.
• Jika himpunan (H) adalah terbatas, memiliki n elemen maka power set dari H
mempunyai elemen sebanyank 2n.
• Contoh:
• H={2, 4, 6}, maka 2n = 8
• ={H, {2,4},{2,6},{4,6},{2},{4},{6}, }
• Himpunan Terbatas dan Takterbatas
• Contoh:
• M={himpunan hari-hari dalam seminggu}
• M={himp. wanita-wanita cantik di dunia}
• M={x  x wanita-wanita cantik di dunia}

Jenis-jenis Himpunan…
• Himp. dari Himpunan (Sets of Sets): himpunan yang ada anggota.
• Pada pembahasan sebelumnya yaitu Power Set, yang memiliki keluarga himpunan {H,
{2,4}, {2,6}, {4,6}, {2}, {4}, {6}, }
• Maka anggota himpunannya : H, {2,4}, {2,6}, {4,6}, {2}, {4}, {6}, 
• Himpunan Terpisah (Disjoint Sets): jika ada dua himpunan yang memiliki
elemen tidak ada yang sama.
• Contoh:
• A={1, 3, 5}
• B={2, 4, 6}, maka A dan B terpisah
• Himpunan Sama (Equality of Sets): jika dua himpunan itu memiliki elemen
yang sama. jika dan hanya jika A = B.
• Contoh:
• A={1, 3, 4, 5}
• B={1, 3, 4, 5}, maka A dan B sama
• A={x  x2 – 3x = -2}
• B={2, 1}
• C={2, 1, 1, 2}, maka A = B = C

Sub Himpunan
Sleepy ??

Sub Himpunan
• H  K, himpunan H dikatakan himpunan bagian/subset dari
himpunan K jika hanya jika setiap elemen H menjadi elemen dari K.
• H  K, jika x  H maka x  K.
• Contoh:
• H={1, 3, 5}
• K={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Subset / Sub himpuan
• Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan
hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
• Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
• Notasi: A  B
• Contoh
• { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}
• {1, 2, 3}  {1, 2, 3}

Subset / Sub himpunan
• A  B berbeda dengan A  B
• A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.
• A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1}
dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
• A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan
bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

Sub Himpunan…

Selamat Belajar

Operasi-Operasi Dasar
Himpunan
Matematika Diskrit
Viny Christanti M., M.Kom

Union / Gabungan :
• H  K : H union/perpaduan K beranggotakan semua elemen yang berada di
dalam H atau berada di dalam K atau keduanya.
• Definisi: H  K = { x  x  H  x  K}
• Contoh:
• H = {a, b, c, d}
• K = {e, f, g, h}
• H  K = {a, b, c, d, e, f, g,h}
• Maka berlaku :
• H  K = K  H
• H  (H  K) dan K  (H  K)

Intersection/Irisan/Potongan :
• H  K : H interseksi/irisan K beranggotakan semua elemen yang
berada di dalam H sekaligus berada di dalam K
• Definisi: H  K = { x  x  H  x  K}
• Contoh :
• H = {a, b, c, d}
• K = {b, c, e, f}
• H  K = {b, c}
• Maka berlaku :
• (H  K)  H dan (H  K)  K

Selisih/Difference : - atau / atau ~
• H – K : Himpunan H selisih dengan K beranggotakan semua elemen
yang berada di dalam H tetapi tidak berada di dalam K
• Definisi: H - K = { x  x  H  x  K}
• Contoh :
• H = {a, b, c, d}
• K = {b, c, e, f}
• H - K = {a, d}
• Maka berlaku :
• (H - K)  H

Complement : …. c atau….. `
• Hc : Himpunan H komplemen, beranggotakan
semua elemen yang tidak berada di dalam H.
• Definisi :
• H` = { x  x  S  x  H}
• H` = { x  x  H}
• Contoh:
• H = {a, b, c}
• K = {c, d, e}
• S = {a, b, c, d, e}
• H` = {d, e}, K` = {a, b}
• (H  K)` = 

Review

Union (Cont)
• Soal :
H = {1, 3, 5, 7},
J = {2, 4, 6},
K = {2, 3, 4, 8}
Carilah : (H  J)  K, H  (J  K)
Gambar diagram garis dari H, J dan H  J !

Intersection (cont)
• Soal :
H = {1, 3, 5, 7},
J = {2, 4, 6},
K = {2, 3, 4, 8}
• Carilah : (H  K)  H, J  (H  K)
• Gambar diagram garis dari H, J dan H  J !

Difference (cont)
• Soal :
H = {1, 3, 5, 7},
J = {2, 4, 6},
K = {2, 3, 4, 8}
• Carilah : (H - J) - K, H – (J - K)
• Gambar diagram garis dari H, J, K dan H - J !

Complement (cont)
• H = {a, b, c}
K = {c, d, e}
S = {a, b, c, d, e}
• Lengkapi diagram venn tersebut di atas!
• Carilah :
H  H`; H  H`; S`; (K`)`
H K

Beda Setangkup (Symmetric Difference)
• Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)
• Contoh
• Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 },
• maka A  B = { 3, 4, 5, 6 }

Beda Setangkup (Symmetric Difference)
• Contoh
• U = himpunan mahasiswa
• P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
• Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
• Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS
keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80,
dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
• “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P  Q
• “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P  Q
• “Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P  Q)

Aljabar Himpunan
• Jika A, B, C adalah himpunan-himpunan akan berlaku hukum
aljabar himpunan sbb :
• A  A = A
• A  A = A } hukum idempoten
• (A  B)  C = A  (B  C)
• (A  B)  C = A  (B  C) } assosiatif
• A  B = B  A
• A  B = B  A } komutatif
• A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
• A  (B  C) = (A  B)  (A  C) } distributif
• A  = A A  = 
• A  S = SA  S = A } hukum identitas
• A  A` = S A  A` = 
• (A`)`= A S`= 
• `= S } komplement
• (A  B)` = A`  B`
• (A  B)` = A`  B` } de Morgan

Contoh
• Buktikan (A  B)  (A  B`) = A
• (A  B)  (A  B`) = A  (B  B`) → distributif
• B  B` = , sehingga
(A  B)  (A  B`) = A  
• A  = A → identitas,
Jadi (A  B)  (A  B`) = A
• Buktikan A  B dan B  C maka A  C !
• A = A  B, B = B  C → definisi subset
• A = A  (B  C) → substitusi
• A = (A  B)  C → assosiatif
• A = A  C → substitusi,
Jadi A  C → definisi subset.

Partisi
• Misal:
A = {2, 3, 4, 5, …., 9}
B1 = {2, 3}, B2 = {4, 5, 6}, B3 = {7, 8, 9}
• B1, B2, B3 adalah keluarga himpunan dan dinamakan partisi dari A
• Syarat:
• A= B1  B2 …  Bn
• Bi  Bj = { }

Latihan

Selamat Belajar

HIMPUNAN TERORDE PARSIAL DA
HIMPUNAN TERORDE TOTAL
Matematika Diskrit
Viny Christanti M., M.Kom

Himpunan Terorde
• Jika tiap-tiap dua elemen dalam sebuah himpunan terorde adalah
elemen-elemen yang tidak dapat dibandingkan, maka dinamakan
orde parsial jika dapat dibandingkan maka dinamakan orde total.
• Jika sebuah hubungan R dalam A sebuah orde parsial dalam A,
maka (a, b)  R dinyatakan oleh a < b → a mendahului b.

Notasi
• Notasi tambahan himpunan terorde parsial :
• a < b berarti ab dan a b,baca “a secara seksama mendahului b”
• b a berarti a b → “b mendominasi a”
• b > a berarti a < b → “b secara seksama mendominasi a”
• Sebuah orde total dalam A dengan sifat : a < b, a = b atau a > b untuk
sembarang dua elemen a dan b yang merupakan elemen A.

Untuk diingat!
• Himpunan terorde total akan selalu memiliki sub himpunan
terorde total (semuanya)
• Himpunan terorde parsial bisa memiliki sub himpunan terorde
total (tidak selalu)

Contoh gambar 1
• Diketahui
• Jawab
• Elemen terakhir = a
• Elemen pertama= -
• Elemen maksimal = a
• Elemen minimal = d, e
a
b c
d e

Contoh gambar 2
• Diketahui
• Jawab
• Elemen terakhir = -
• Elemen pertama= -
• Elemen maksimal = a, b
• Elemen minimal = c, d
a b
e
c d

Cara menjawab
• misal A adalah sebuah himpunan terorde dan untuk tiap elemen x 
A, elemen a  A dikatakan :
• elemen pertama jika a x
• elemen terakhir jika x b
• elemen maksimal jika a xmenyatakan a = x
• elemen minimal jika x b menyatakan b = x

Keterangan jawaban
• Orde parsial pada gambar 2 memiliki subhimpunan {a, e, c}, (b, e, d},
{a, d} adalah terorde total.
• Sub himpunan {a, e, b}, {d, c} tidak terorde total.
• Orde total :
• elemen pertama/minimal dan elemen terakhir/maksimal hanya ada satu
elemen.

Lower Bound
• Misal ada sebuah sub himpunan B dari sebuah himpunan terorde
parsial A, maka :
• Elemen a  A dinamakan lower bound (batas bawah) dari B, jika seitap x  B
yaitu a x.
• Jika batas bawah dari B mendominasi setiap lower bound yang lainnya
dinamakan greatest lower bound (batas bawah terbesar) atau infimum dari B
yang dinotasikan inf(B).
• Lower bound bisa banyak, satu atau tidak ada
• Infimum paling banyak hanya satu elemen

Upper Bound
• Misal ada sebuah sub himpunan B dari sebuah himpunan terorde
parsial A, maka :
• Elemen b  A dinamakan upper bound (batas atas) dari B, jika setiap b
menodminasi setiap elemen dalam B, yaitu jika setiap x  B → x b.
• Jika batas atas dari B mendahului setiap batas yang lainnya dinamakan least
upper bound (batas atas terkecil) atau supremum dari B yang dinotasikan
sup(B).
• Supremum paling banyak hanya satu

Contoh soal:
Misalkan V={a,b,c,d,e,f,g} diorde menurut diagram berikut:
a b
c B
d e
f g
Misalkan B={c,d,e}

Latihan

Selamat Belajar

Relasi
Matematika Diskrit
Viny Christanti M.,M.Kom

Fungsi dan Relasi
FUNGSI
• Definisi:
• Misal f adalah relasi dari A ke B.
f disebut fungsi jika untuk setiap
anggota A direlasikan dengan
tepat satu anggota B.
RELASI
• Adalah hubungan antara elemen
himpunan dengan elemen
himpunan yang lain. Cara paling
mudah untuk menyatakan
hubungan antara elemen 2
himpunan adalah dengan
himpunan pasangan terurut.

Contoh Fungsi dan Relasi
Fungsi
• Misal A = {1,2,3}, B={u,v,w}
• f = {(1,u),(2,v),(3,w)} adalah fungsi
• f = {(1,u),(2,u),(3,w)} adalah
fungsi
Relasi
• Misal A = {1,2,3}, B = {a,b}, maka
:
• A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b),
(3,a), (3,b)}

Relasi
• Suatu relasi R terdiri dari :
• Sebuah himpunan A
• Sebuah himpunan B
• Ungkapan suatu kalimat terbuka P(x, y) di mana P(a, b) adalah benar atau salah
untuk sembarang pasangan terurut (a, b) yang termasuk dalam A x B.
• Maka R adalah suatu relasi dari A ke B : R = (A, B, P(x, y))
• Jika P(a, b) benar maka a R b atau R(a, b), dibaca :
• “ a berhubungan dengan b” atau “a berada di dalam relasi R dg b”.
• Jika P(a, b) salah maka a R b.

Relasi…
• Contoh :
• R = (A, A, P(x, y)) dimana A bilangan-bilangan asli dan P(x, y) berbunyi “y habis dibagi
oleh x” maka R adalah suatu relasi.
• 3 R 12, 5 R 15, 2 R 7.
• Grafik suatu relasi R dari A ke B terdiri atas titik-titik pada diagram koordinat
dari A x B yang termasuk himpunan jawaban dari R.

Grafik relasi
• Contoh :
• R = (A, B, P(x, y))
A = {2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
Definisi kalimat terbuka P(x, y) : “y habis dibagi oleh x”.
• Maka himpunan jawaban dari R adalah :
• R* = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
2 3 4
3
4
5
•
•
•
•
6
•

REPRESENTASI RELASI
• TABEL
• Jika relasi disajikan dengan tabel maka kolom pertama menyatakan daerah
asal dan kolom kedua menyatakan daerah hasil.
• Misal P = {2,4,8,9,15}, Q = {2,3,4}.
• Relasi R dari P ke Q didefinisikan sebagai: (p,q)  R jika p habis dibagi q, maka:
• R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}

REPRESENTASIRELASI…
• MATRIKS
• Misal R adalah relasi dari A = {a1,a2, …, am} ke B = {b1,b2,…,bn}. Relasi R
dapat disajikan dengan matriks M = [mij],
R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}

REPRESENTASI RELASI…
• Graf berarah
• Representasi relasi dengan graf berarah adalah merupakan representasi
relasi secara grafis.
• Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik ( simpul, vertex) dan
tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur.
• Dengan kata lain jika (a,b)  R maka dibuat busur dari simpul a ke simpul b.
Simpul a disebut simpul asal dan simpul b disebut simpul tujuan.

SIFAT– SIFAT RELASI
• REFLEKSIF
• SIMETRIS
• Anti simetris
• TRANSITIF
• EKIVALEN

Sifat-sifat relasi
• Relasi Refleksif
R disebut relasi refleksif jika untuk setiap a  A yang dinotasikan (a, a)  A
atau a R a.
• Contoh :
• A = {1, 2, 3, 4}
R = {(1,1), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)},
maka R bukan reflleksif karena (2, 2) tidak termasuk dalam R, dimana (a, a) harus termasuk
dalam R.
• Soal :
A = {1, 2, 3}, perhatikan relasi-relasi berikut dalam A !
• R1 = {(1,2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)}
• R2 = {(1,2), (2, 3), (1, 3)}
• R3 = {(1, 1), (2,2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
• R4 = {(1, 2)}
• R5 = A x A
Manakah yang bersifat refleksif dan yang tidak ?

Sifat-sifat relasi…
• Relasi Simetris
R disebut relasi simetris jika a berhubungan dengan b, maka b juga
berhubungan denan a, yang dinotasikan (a, b)  R, maka berarti (b, a)  R.
a R b → b R a; a = b → b = a
• Contoh :
A = {1, 2, 3, 4}
R = {(1,3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)},
maka R bukan relasi simetris karena (2, 3)  R tetapi (3, 2)  R.
• Soal :
A = {1, 2, 3}, perhatikan relasi-relasi berikut dalam A !
• R1 = {(1,1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3)}
• R2 = {(1,1)}
• R3 = {(1, 2}
• R4 = {(1, 1), (3, 2), (2, 3)}
• R5 = A x A
• Manakah yang bersifat simetris dan yang tidak ?

Sifat-sifat relasi…
• Relasi Anti Simetris
• Jika (a, b)  R dan (b, a)  R, maka a = b.
• Jika a b, bisa saja a R b dan b R a tetapi tidak kedua duanya.
a R b → b R a
• Pada soal di atas, mana yang bersifat antisimetris dan tidak ?

Sifat-sifat relasi…
• Relasi Transitif
R disebut relasi transitif pada himpunan A : jika (a, b)  R dan (b, c)  R maka
(a, c)  R atau a R b, b R c → a R c.
• Contoh :
• A = {a, b, c}
R = {(a, b), (c, b), (b, a), (a, c)} bukan relasi transitif karena (c, b)  R dan (b, a)  R
tetapi (c, a)  R.
• Soal :
A = {1, 2, 3}, perhatikan relasi-relasi berikut dalam A !
• R1 = {(1, 2), (2, 2) }
• R2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 1)}
• R3 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 2)}
• R4 = A x A
Manakah yang bersifat transitif dan yang tidak ?

Sifat-sifat relasi…
• Relasi Ekivalen
R disebut relasi ekivalen pada himpunan A jika :
• R adalah refleksif, untuk a  A, (a, a)  R
• R adalah simetris, jika (a, b)  → (b, a)  R
• R adalah transitif, jika (a, b)  R, (b, c)  R → (a, c)  R

Relasi Invers
• Relasi invers R-1 → R-1 = {(b, a)  (a, b)  R
• Contoh :
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
R = {(1, a), (1, b), (3, a)} adalah relasi A → B.
• Relasi invers dari R adalah : R-1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 3)}.

Latihan

Fungsi
Product Set
Grafik Fungsi
Matematika Diskrit
Viny Christanti M., M.Kom

Fungsi Hmm…

FUNGSI
• Definisi : Bila setiap elemen dalam sebuah himpunan misal A di
petakan ke elemen sebuah himpunan B dalam sebuah elemen
tunggal.
• f : A → B
• f adalah fungsi dari A ke dalam B atau A → B
• f suatu pemetaan dari A ke dalam B.
• Contoh :
• A = {a, b, c, d}
• B = {e, f, g, h}
• (Next => gambar)

Contoh…
• Fungsi pada diagram tersebut adalah fungsi yang tidak sama
karena A B.

Contoh…
• Fungsi g didefinisikan dengan rumus :
• g(x) = x2 dimana
• domain g adalah {1, 2}
• Range of function (jangkauan fungsi/daerah hasil) pada contoh diatas, maka daerah
hasil = {1, 4 }.
• Pada diagram:
• 1,4 adalah bayangan dari 1, 2.
• Sehingga bisa disebut g(1) = 1 ; g(2) = 4

Macam– macam fungsi
• Fungsi satu-satu (one-one function):
• Jika elemen dalam domain di tetapkan dengan elemen pada co-domain
dengan masing-masing berkawan tunggal.
• Fungsi satuan (identity function):
• Jika pemetaan di lakukan pada dirinya sendiri : f : A → A
• Fungsi konstan (constant function):
• Jika bayangan/daerah hasil hanya ada satu elemen.
• Perkalian/pergandaan fungsi (product of function):
• Jika f : A → B dan g : B → C maka (gof) : A → C
• A → B → C dimana setiap elemen a  A di petakan dengan suatu elemen
yang terhubung dengannya yaitu g(f(a))  C.
• Dinyatakan (gof) atau (gf) : fungsi komposisi dari f dan g.
• (gof)(a) g(f(a)) → definisi ini sama.

Macam– macam fungsi…
• Contoh product of function
• (gof)(1) = g(6) = 9
• gf(2) = g(5) = 8
• g(f(3)) = g(4) = 8

Macam– macam fungsi…
• Invers dari fungsi (inverse of a function)
• Misal f : A → B dan b  B maka invers dari b dinyatakan : f-1(b) → f invers
dari b.
• Definisi :
• f-1(b) = {x | x  A  f(x) = b}
f-1(a) = {x}
f-1(b) = {y, z}
f-1(c) = { } = 

KOMPOSISI FUNGSI
• Misal:
• g adalah fungsi dari himpuan A ke B
• f adalah fungsi dari B ke C.
• Komposisi f dan g dinotasikan f ° g adalah fungsi dari A ke C yang
didefinisikan oleh:
• (f ° g) (a) = f(g(a))
• Contoh:
• Diberikan fungsi g = {(1,u),(2,u),(3,v)} yang memetakan himpunan A = {1,2,3} ke B =
{u,v,w}, dan fungsi f = {(u,y),(v,x),(w,z)} yang memetakan B={u,v,w} ke C = {x,y,z}.
• Fungsi komposisi dari A ke C adalah:
• f ° g = {(1,y),(2,y),(3,x)}

Product Set Next

Pasangan Terurut
• (a, b) dan (c, d) adalah pasangan terurut yang
sama jika dan hanya jika a = c dan b = d
• Contoh:
• Pasangan terurut (2, 3) dan (3, 2) adalah beda.
• Pasangan terurut (2, 3) dan (2, 3) adalah sama.
• Soal :
• Pasangan terurut ini sama, (x + y, 1) dan (3, x – y), maka carilah
x dan y !

Product Set
• Hasil kali himpunan Z dan Y terdiri dari pasangan
terurut (a, b) di mana a  Z dan b  Y.
• Dinyatakan : Z x Y = {(a, b)  a  Z, b  Y}
• Contoh :
• A = {2, 4} dan B = {x, y}
• A x B = {(2, x), (2, y), (4, x), (4, y)}
• Soal :
• A = {a, b}
• B = {2, 3}
• C = {3, 4},
• Carilah (A x B)  (A x C), A x B x C

Grafik dan Diagram Koordin
• f* = {(a, b)  a  A, b = f(a)}
• f* , yaitu grafik dari f : A → B adalah sub himpunan dari A x B.
• Contoh : f : A → B didefinisikan oleh diagram berikut :
a
b
c
d
1
2
3
A B
maka f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) =2, f(d) = 1.
Jadi grafik dari f adalah f* = {(a,2),
(b,3), (c,2), (d,1)}.

Grafik dan Diagram Koordinat…
• Maka f* dapat diperlihatkan pada diagram koordinat A x B sbb :
a b c d
1
2
3
• •
•
•

Diagram Fungsi
• Diagram fungsi dikatakan komutatif jika ada sembarang jalan
memiliki tujuan yang sama.
• Contoh :
• i = k • h, fungsi sama.
• Maka diagram ini komutatif, karena j• h = l• i, k• h = i, j• h = l• k• h
A jh
i
C
DB
l
k

Aljabar Fungsi
• Aljabar fungsi bernilai real dinyatakan secara spesifik, misal :
• f : A → R# dan g : A → R# dan jika k  R#, maka fungsi dapat didefinisikan sbb :
• (f + k) : A → R# oleh (f + k)(x) f(x) + k
• ( f ) : A → R# oleh ( f  )(x)  f(x)
• (kf) : A → R# oleh (kf)(x) k(f(x))
• (fg) : A → R# oleh (fg)(x) f(g(x)) f(x)g(x)

Contoh:
• A = {a, b} dan f : A → R# dan g : A → R#
didefinisikan : f(a) = 1, f(b) = 2 dan g(a) = 2, g(b) = 1
• Carilah :
• (3f + 2g)(a) !
• (3f + 2g)(b) !
• Jawab :
• f(a) = 1, f(b) = 2 f = {(a, 1), (b, 2)}
• g(a) = 2, g(b) = 1 g = {(a, 2), (b, 1)}
maka :
• (3f + 2g)(a) 3f(a) + 2g(a)
= 3(1) + 2(2) = 7
(3f + 2g)(b) = 3f(b) + 2g(b)
= 3(2) + 2(1) = 8
3f + 2g = {(a, 7), (b, 8)}

Fungsi Pilihan
• f : {Ai}i  I → B apabila {Ai}i  I adalah keluarga himpunan yang tidak
kosong dari B.
• Fungsi ini dinamakan fungsi pilihan, untuk setiap :
• i  I, f(Ai)  Ai jika bayangan adalah elemen dalam himpunan.

Contoh:
• A1 = {1, 2, 3}, A2 = {1, 3, 4}, A3 = {2, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5} dan perhatikan !
• f bukan fungsi pilihan → f(A2)  A2
• g fungsi pilihan → g(A1)  A1; g(A2)  A2; g(A3)  A3
.1
.2
.3
.4
.5
A1.
A2.
A3.
f
.1
.2
.3
.4
.5
A1.
A2.
A3.
g

Latihan
• A = {a, b, c}, f dan g adalah fungsi riil dan di definisikan :
• f(a) = 2, f(b) = -2,f(c) = 3
• g(a) = 2,g(b) = 0,g(c) = 1
• Carilah :
• f + 3g;
• fg – 3f;
•  g (x);
• (g + 2)(x)

Latihan

Selamat Belajar